貧乏な学生時代に授業料を稼ぐ貯めアルバイトばかりで高価な参考書も買えずに満足な勉強もせず卒業。即就職して
猛烈社員として過ごし子育ても一段落。日本の奇跡の復活に貢献した、私ども敗戦後に生まれた団塊世代の年金生活者にとって、金はなくとも時間に余裕ができ、再度学ぶのは大変有意義な時間となります。幸いにもyou tube動画での大学授業の公開やネットの無料公開とは非常に嬉しいものです。
また昔の数学の参考書はとっつきにくい本ばかりで難渋しますが、最近の本は読みやすくなっているのも嬉しいですね。
電子版にはポアンカレ予想の解決や角の三等分問題などの解決は、予想だに出来ない方法で解けていることが述べられています。これはフェルマー予想でも同様でしたね。難問とは現在までの手法では所詮解けないものを言うのかも。
まず下記のやさしい本で学んでから
「数学は世界をこう見る」小島 寛之
微分形式とストークスの定理、ド・ラムのコホモロジー 群のやさしい解説は
「理工系のための トポロジー・圏論・微分幾何 双対性の視点から」谷村省吾の方が頭に入りやすい。
「例題形式で探究する微積分学の基本定理 数理科学 別冊」森田茂之は多様体の最高の入門書です。
「よくわかるトポロジー」山本修身
「曲面と結び目のトポロジー―基本群とホモロジー群 」小林 一章
「トポロジー:柔らかい幾何学」瀬山 士郎
「情報幾何学の基礎」藤原 彰夫は曲面・接空間・接続・共変微分が解る。
「コホモロジー」安藤哲哉
ネットブログで：ベクトル束とは何かを考える←ねくノートがメチャ素晴らしい。
多様体は局所的にはユークリッド空間と同じものと定義されるが大域的性質を調べるのにホモロジーとコホモロジー の概念がある。風船と浮き輪が同相でないことはオイラー数が異なることで証明される。ホモロジー群は多面体でよく知られるオイラー標数の概念を一般化・抽象化して（面・辺・頂点の形式的な一次結合からなる）加群を使って同相かどうかを調べるのである。
他方（微分が定義できるなめらかな）微分可能多様体ではコホモロジー群が考案された。微分形式を利用したのがド・ラムのコホモロジー 群という訳である。つまりホモロジーは図形の位相的なつながりを考察するのに対して、微分形式という解析的な量と関係するド・ラムのコホモロジー 群が一致するという驚愕の事実が示される。
微分幾何学の最後の方にでてくるガウス・ボンネの定理（高次元では微分形式が必要）は位相幾何と微分幾何とを結びつける驚愕の定理であり、その結びつきは基本的にはストークスの定理が実現する。このストークスの定理はたいがいがベクトル解析の本の終わり出てくる、これが微分形式を使って簡潔な美しい形で示される。
図形の基本を三角形からホモロジー、その双対概念でコホモロジーが登場。
ホモロジーは、図形(点・曲線・曲面・……)から作られた加群から定義。
コホモロジーは、関数からなる加群(双対空間)から定義。
というように、何をもとにして作ったのかが異なっている。
一般に、ある性質を満たす加群の系列(=鎖複体)があれば、そこからホモロジー、コホモロジーを定義することができる。おおまかに言えば、図形をもとにして作ればホモロジー、関数をもとにして作ればコホモロジーになる。
関数は初めから加群になっている(足し算とスカラー倍ができる)ので、ホモロジーではなくコホモロジーが自然に出てくる。例えば、層のコホモロジーやド・ラームコホモロジーは、どちらも関数的なもの(層、微分形式)から定義されている。小島先生のよると「層」というのは、単純に言えば、リーマン面上の複素関数を思い浮かべればいい。リーマン面は局所的には複素平面の小さい円と同じだから、そこで定義された複素関数のことだ。「層」というのは、「局所で0と一致すれば全体で0、局所的な関数族は貼り合わせて全体の関数にできる」という性質を持つ空間のこと。正則な複素関数は、この性質を備えている。
ただ、それだけをイメージしていると「層」ってそれしかないのかなあ、と貧弱な感覚しか得られない。「層」は、複素線形空間だから、他の例も頭の引き出しに入れておかないと、その不変量であるコホモロジー群を理解出来なくなるとのことです。
多様体論の根幹を成すのはド･ラームの定理です。
『微分可能多様体のホモロジーが微分形式によって検出できる』ことを保証します。
ホモロジーとは図形の中にサイクルと呼ばれる各次元の「穴」が何個あるかを計るものです。
ド･ラームの定理はカルタンが1928年に予想し、ド･ラームが証明を与えました。
マイヤー - ビートリス完全系列 などの計算は「計算で身につくトポロジー 」阿原一志
や「臨時別冊・数理科学2005年9月トポロジー入門」
と「代数的トポロジー」枡田 幹也が分かり易い
ネットのPDF「位相的場の理論」集中講義ノート：京都大学 深谷賢治 講演議事録を読もう。
動画で学べる、【ガロア理論・第８回】基本群と被覆空間
東大数理ビデオアーカイブの2014年度 数学公開講座 「 小平邦彦氏の生涯と業績 」
宮岡 洋一（東京大学・教授）『 曲面の小平理論 』を見てみよう。
追記 2018.4.22のネットブログ「日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート」のド・ラームコホモロジーとフーリエ級数の記事がメチャよく分かる。
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